IEEE二进制浮点数算术标准

IEEE二进制浮点数算术标准（IEEE 754），是一个由 IEEE 制定的、用来在计算机中表示浮点数的标准，该标准目前已经被广泛的使用在计算机中。

IEEE 浮点数表示法是一个把浮点数用一个二进制整数表示出来的方法，而这个整数经过一定的转换，也可以重新转换为我们所需要的浮点数。为了介绍这一方法，首先需要介绍一个浮点数的表示公式：v = (-1)^S x M x 2^E。
其中：

S 用来保存数字的正负
M 我们称之为尾数（Mantissa），或者叫做有效数字（Significand）
E 叫做指数（Exponent）
2 叫做基数（Base）

接来看一个例子：例如小数 9.625₁₀，首先我们把其转换为二进制小数 1001.101₂（如果你对转化不熟悉，可以参考十进制小数转二进制小数方法），然后把 1001.101 转换为 1.001101 x 2³（IEEE要求必须且只能保留一位整数），此时对应上面的公式，S 应为0，M 应为1.001101，E 应为3。好了，我们已经成功的把一个小数用公式表达出来了，下一步就是怎么把我们得到的值用整数形式存储起来呢？

浮点数的存储方式有很多种方式，这里介绍两种使用最频繁的方式：单精度格式和双精度格式。

1.单精度格式的存储

在使用单精度存储时，需要使用到 4 个字节（32位）的存储空间，存储空间的使用如下图所示：

其中：

0 ~ f 共有 23 位小数 fraction，他们是用来保存对应公式 M 处的值的，即用 0 ~ 22 位来保存尾数。在这里是按照从左到右的顺序来排放的数字的，即小数最高位在左侧，向右依次减小。又因为 IEEE 中的 M 的第一位必然为 1，所以一般只从第二位（小数的第一位）开始计算。
23 ~ 30 位用来保存指数部分，如图所示 exponent (exp)。其中，exp = Bias + E。我们已经知道，E 表示的是指数部分的值，而对于单精度类型而言，Bias 为127。所以对于上面的例子： exp = 127 + 3 = 130，转化为二进制就是 ‭10000010‬。
31 位用来保存 S，正为0，负为1。

根据如上面描述，我们例子中的 9.625 的单精度表示值就为 0 ‭10000010‬ 00110100000000000000000（记得去掉 M 的整数位，位数不够就在后面补零，位数过多就直接截取）。

2.双精度格式的存储

双精度和单精度的存储非常相似，只是双精度的存储需要占用8个字节。其中 fraction 提升到了 52 位（0 ~ 51），exp 占据 52 ~ 62，S 依旧占据最高位。此外，对于双精度存储而言， Bias（偏移量）的值为 1023，这是与单精度存储所不相同的。

参考：
1.浮点数与IEEE 754 - 狼の禅 - 博客园
2.IEEE 754 - 维基百科，自由的百科全书